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第二章 在学校学不到的实用概率 期望值准则（第3页）

实际上，沙万奇正是基于这个考虑，用更为严谨的表现形式阐明了主观概率的概念，以使其适用于更为复杂的模式。也就是说，“在人的选择行为中，针对事件发生概率的主观期望发挥着重要的作用”。如果这些选择行为满足一系列条件，那么其与数学概率分布的结果之间就不会存在任何矛盾。也就是说，沙万奇并不主张人们有意识地过度运用主观概率，只不过希望阐明人们的行为与使用概率进行计算之间并不存在矛盾。

在前文提到的彩票的例子中，假设价格和奖金额度是相同的。但是，一般来说，彩票的价格和奖金额度是不同的。即使是同一种彩票，也会分为不同的奖金档次。在这种情况下，人们是无法仅凭概率大小就判断究竟该买哪种彩票的。

为了发现应用范围更为广泛的判断标准，“奖金概率的平均值”就显得尤为重要了。在专业领域中，将基于概率计算的平均值称为“期望值”。下面，我们就来介绍一下期望值准则中的“期望值”的具体含义。

期望值究竟意味着什么？

为了简单进行说明，我们默认为这部分中提到的彩票都是免费的，仅考虑奖金的问题。

如果有彩票A和彩票B两种彩票，你很容易就能决定究竟该买哪一种。

彩票A：中奖概率为0.2，奖金2万日元；

彩票B：中奖概率为0.2，奖金3万日元。

由于中奖概率相同，那么购买中奖金额大的彩票B就是一个好的选择。

在下述情况下，你选择起来也不会有任何犹豫。

彩票A：中奖概率为0.3，奖金2万日元；

彩票B：中奖概率为0.2，奖金2万日元。

由于奖金相同，你当然是买中奖概率大的彩票A了。

真正会令人感到犹豫不决的是下述情况：

彩票A：中奖概率为0.2，奖金4万日元；

彩票B：中奖概率为0.3，奖金2万日元。

如果想要中更多奖金，你就应该选择彩票A；如果想要提高中奖概率，你就应该选择彩票B。在这种情况下，你会如何选择呢？

实际上，最自然的选择就是按照“比值”思考。与彩票A相比，彩票B的奖金只有一半。因此，如果想做到真正平衡，彩票B的中奖概率就应该是彩票A的2倍。但是，彩票B的中奖概率只有彩票A的1.5倍（0.3÷0.2=1.5），可以据此判断购买彩票A是合理的。

为了进一步强化判断标准的普适性，需要对比较的方法进行重新解释。在上文中对彩票奖金的比值和中奖概率的比值进行了比较，结果是4÷2＞0.3÷0.2，从而推导出了应该购买哪种彩票的结果。根据不等式计算规则，原不等式可以转化为不等号两端最外侧的数值相乘之积＞两端内侧数值相乘之积。因此，上述不等式相当于4×0.2＞2×0.3。这样一来，该不等式的左侧就变成了彩票A的奖金×彩票A的中奖概率，右侧变成了彩票B的奖金×彩票B的中奖概率。有鉴于此，“彩票奖金×中奖概率”就等于购买彩票有望获得的收益。我们将其称为“彩票奖金的期望值”。如果按照这种方式进行定义，彩票A的奖金期望值就是4万日元×0.2=0.8万日元，彩票B的奖金期望值就是2万日元×0.3=0.6万日元。前者的期望值较大。因此，可以判断购买彩票A是更为合理的选择。

关于期望值的计算，我们还可以从其他视角出发进行合理的解释。

假设一个人连续N次购买彩票A，并且这里的N是个非常大的数字。如果购买同一彩票的次数足够多，那么实际的中奖比例就会相对稳定，与概率基本相同（这种现象被称为“大数法则”）。因此，可以得出实际中奖的次数=N×0.2。此时，赢得的奖金总额=4万日元×N×0.2。如果求取奖金总额的平均值，所得的每次平均奖金金额=4万日元×N×0.2÷N=4万日元×0.2。这与彩票A的奖金期望值完全相同。也就是说，彩票的奖金期望值是多次购买同一彩票时的“单次平均中奖额”。

“期望值”中的“期望”这个词源于英语单词expe，有“预期、展望”的意思，与“期望”在日语中包含的“期待、盼望”的语义之间还有一定的差距，希望广大读者注意。实际上，我认为把expe翻译成“平均预测值”才是比较合理的。

购买彩票究竟是一种多么赔钱的行为呢？

在设置多个奖金金额的彩票中，期望值等于奖金金额乘以中奖概率的总和。

比如彩票C中5万日元的概率为0.2、中2万日元的概率为0.4、不中奖的概率为0.6，其期望值的计算方法如下：

彩票C的期望值=5万日元×0.2+2万日元×0.4+0×0.6

=1.0万日元+0.8万日元+0=1.8万日元

这个期望值相当于多次购买彩票C时赢得的奖金总额的平均值。

我们以某年年终彩票的期望值为例，研究一下期望值的具体运用方法。这一彩票的奖金和中奖概率具体如表2-1所示。

表2-1　某年年终彩票的奖金和中奖概率

分别计算一等奖至六等奖的奖金金额乘以中奖概率，然后将这些数值相加（小数点第四位以后四舍五入）：40日元+20日元+0.99日元+9.009日元+10日元+10日元+30日元+30日元=149.999日元。也就是说，如果花300日元购买这种年终彩票，每次平均只能获得接近150日元。当然，由于彩票的结果共计有九种（包括不中奖的情况），因此购买彩票其实是购买“可能发生变动的不确定的未来利润”。但是，彩票奖金的期望值，也是一种衡量“标准”。

如果从这种被称为“期望值”的“标准”来衡量，买彩票明显是非常亏本的行为。那么，为什么还有很多人会热衷于这种行为呢？关于这一点，我将在第五章中进行详细说明。

下面，我们将运用期望值准则，再对第一章中的调查问卷实施检验。

在那个调查问卷中，有一个显著的特征，那就是并未指明“晴”“阴”“雨”“雪”的客观概率，因此只能使用主观概率。那么，又该怎样实施主观概率分布呢？