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第19讲 在贝塔分布中使用概率分布图进行高级推理（第3页）

z＝12x2（1-x）

据此，这对夫妇第二胎依然为女孩的概率，可以从贝塔分布的期待值的公式（第18讲）

中推理得出，结果为0.6。因此可以得出，相比于把均匀分布作为先验分布时（推算值约为0.67），推算出生女孩的概率的数值要更接近0.5一些的结论。这个推理应该可以说服大多数人吧。

19-5在先验分布中运用贝塔分布的原因

读到这里，大家大概应该已经明白，为何把“某对夫妇生女孩的概率”的贝叶斯推理中的先验分布设定为贝塔分布的原因了吧。这是因为，后验分布也恰好为贝塔分布。

生女孩的概率是把类别x的概率密度乘以x，生男孩的概率是用类别x的概率密度乘以（1-x）计算出来的。之后，把类别x的先验分布设定为贝塔分布，就知道后验分布也同样为贝塔分布了。

像这样，对于设定的概率模型，把后验分布设为与先验分布相同的分布，这样的先验分布称为“共轭先验分布”。也就是说，生的是女孩或是男孩，这一概率模型的共轭先验分布，即为贝塔分布。

在贝叶斯推理中存在一个惯例：把想需要推理的概率模型的共轭先验分布作为先验分布来运用。原因有二：

原因1：若把先验分布和后验分布设为相同，那么计算就会变得简单很多。

原因2：若先验分布和后验分布不同，那么从哲学角度来思考的话，会觉得很奇怪。

可以说，以上两种观点的出发点是截然不同的。前者从功能角度出发，而后者是从哲学角度出发的。不过，任何一种（或是两者）都能够帮助我们认同运用共轭先验分布的思维方式吧。

第19讲·小结

1．对于“当某对夫妇生的第一胎为女孩时，第二胎依然为女孩的概率x”进行推算时，把类别设定为0≤x≤1。

2．若把类别x的先验分布设定为均匀分布，那么后验分布为贝塔分布。

3．各种可能性的划分，用p（类别x）×x和p（类别x）×（1-x）进行计算。

4．对于“类别”本身（而不是类别x的概率分布）进行推理时，使用贝塔分布的期待值。

5．共轭先验分布，是为了把先验分布和后验分布统一为同样分布的先验分布。

6．“生的是女孩还是男孩”这一推理的共轭先验分布为贝塔分布。

练习题

答案参见此处

进行一项实验，验证某种药对于某种病症是否有疗效（临床实验）。现在，把药分给10个患者，实验结果为：对于其中4人有效果，6人没有效果。那么此时，根据贝塔分布，用贝叶斯推理对这种药的效果概率进行评价。在下面的（）中填入合适的答案。

把先验分布设为均匀分布，即设为：

y＝（）

此时，在“有效果”的概率密度x的基础上，按照特定的顺序，根据4人有效果、6人没有效果这样的结果概率，可以从4个x和6个（1-x）的乘法运算中得出：

y＝x（）（1-x）（）

因此，根据标准化条件，后验概率的概率分布是可以用合适的常数表示为：

y＝（常数）x（）（1-x）（）

即为α＝（）、β＝（）的贝塔分布。计算该贝塔分布的平均值，为：