格格党

手机浏览器扫描二维码访问

第2讲 贝叶斯推理的结果有时与直觉大相径庭① 使用客观数据时的注意事项（第2页）

这种概率，就是先前讲过的，在限定类别场合下的各个检查结果的条件概率。把各个类别作为检查结果的“原因”来看待的话，如果明确了原因（身患癌症或是健康），就可以知道结果（阳性或阴性）的概率。

上一节中共分了两个大类，根据具体信息，每个大类又被分成了两小类，如图表2-3所示。

图表2-3四种互不相同的可能性

如图表2-3所示，你的身体内部存在四种可能性。患癌并呈现阳性（左上区域），患癌并呈现阴性（左下区域），健康状态下的阳性（右上区域）和健康状态下的阴性（右下区域）四种情况。

并且，根据各区域所表示的概率，用乘法计算，得到图表2-4。

图表2-4四种互不相同的可能性各自的概率

2-4检查结果呈阳性，因而排除掉“不可能的情况”

此刻，你已经了解到自己的检查结果呈阳性。而这件事又可以这么理解：你获取一项关于自己身体内部状况的信息，也就为“可能性世界”增添了新的信息。

在现实世界中，因为观察到了“阳性”这一结果，“阴性”这一结果便可以排除了。用图形表示，如图表2-5所示。

图表2-5获得信息之后，可能性受到限定

2-5计算罹患癌症的“贝叶斯逆概率”

在上一节中，因为观察到“阳性”这一诊断结果，因此，可能世界被限定为2个。也就是说，你所处的世界或是“癌症＆阳性”的世界，或是“健康＆阳性”的世界，只有这两种可能性。

对检查结果的观察，使得可能性从4种减少到2种。这样，概率相加之和（长方形的面积）无法为1。因此，为了恢复标准化条件，需要在保持比例关系的前提下，使“相加之和等于1”，具体如图表2-6所示。

（左边长方形的面积）：（右边长方形的面积）＝0.095:1.998

0.095＋1.998＝2.093，用这个数值来分割比率的两侧的话，可以满足标准化条件（相加之和等于1）。

图表2-6根据标准化条件，计算后验概率

如图所示，将长方形的面积标准化处理，则为0.0454和0.9546（四舍五入，保留小数点后第四位）。请确认相加之和为1。

从这个结果可以得知，在得知“阳性”这一检查结果的情况下，罹患这种癌症的概率为4.5％左右，这便是后验概率（贝叶斯后验概率）。

2-6贝叶斯推理过程的总结

本讲中，求癌症检查的贝叶斯逆概率的方法，可用图表2-7表示如下：

图表2-7罹患癌症概率的贝叶斯推理过程

那么，在求罹患癌症的后验概率的过程中，我们能够发现什么呢？这个问题，也是本讲最重要的内容所在。

首先，请注意本讲开头提出的问题——“如果在准确度为95％的癌症检查中，你的检查结果呈阳性，那么，你患癌症的概率是否为95％？”答案是否定的。别说95％了，实际上只有4.5％。不过在这个意义上讲，倒不必过度悲观。

至于为何概率会如此之低，原因在于，患癌症的可能性本来就极其微小，健康人群中所占的比例远高于患癌症的人，健康人被误诊为阳性的可能性也很大，这一部分数值不能忽视。因此，即便检查结果呈阳性，也有很极大的可能性是健康人被误诊。所以，千万不要过度悲观。

不过，即便如此，也不能完全放心。关于这一点，看一看表示先验概率和后验概率的图表2-8就清楚了。

图表2-8关于癌症检查的贝叶斯更新

通过上图我们可以看出，罹患该种癌症的概率，在尚未进行观察的情况下为0.001（先验概率）；而得知检查结果呈阳性之后，数值便发生了更新，变为约0.045（后验概率）。也就是说，概率从0.1％一下子上升到4.5％，增大了45倍。