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第17讲 贝塔分布的性质由两个数字决定（第1页）

第17讲“贝塔分布”的性质由两个数字决定

17-1贝叶斯推理中经常使用的连续型分布——“贝塔分布”

在我们之前介绍的贝叶斯推理中，为实现先验分布而设定的类别是有限的。例如，第1讲中，关于顾客购买商品的推理，分为“来买东西的人”和“随便逛逛的人”两类；第2讲中，癌症检查的结果，分为“癌症”和“健康”两类；第4讲中关于第二胎性别的案例，分为“生女孩的概率为0.4的夫妇”、“生女孩的概率为0.5的夫妇”、“生女孩的概率为0.6的夫妇”这三类。

像上述这样，在有限的类别中进行贝叶斯推理的情况并不少见，但也有很多时候，必须要分为无限个连续的类别才行。例如，第4讲中关于第二胎性别的案例，如果把“生女孩”的概率p仅仅设定为0.4、0.5、0.6这三种的话，显然是不够的。毫无疑问，在这个案例中，概率p的取值范围应该为0≤p≤1。那么，因为类别总共有连续的无限个，所以在设定先验概率时，需要设置为连续型概率分布。

本讲将介绍贝叶斯推理中出现频率很高的“贝塔分布”。理解“贝塔分布”，需要用到微分、积分等难度较大的数学知识，而本书在讲解时会尽量避免这种方式，而是采用直观的图解方法来进行说明。

17-2何为“贝塔分布”

首先介绍“贝塔分布”这一概率分布的概念。从计算公式入手来看：横轴x代表基本事件的数值，纵轴y代表概率的密度。上一讲中已经讲过，概率密度是指“乘以区间的长度后可以转化为概率的量”。

贝塔分布可以用以下公式来表达：

y＝（常数）×xα-1（1-x）β-1（0≤x≤1）…（1）

出现在指数部分α和β，应为大于1的自然数，它用来决定贝塔分布的种类。换言之，如果赋予α和β具体的数值，就能够决定一次贝塔分布。当α、β为较小的数值时，贝塔分布的图表为相对简单的模型；反之，当α、β为较大的数值时，贝塔分布的图表则为比较复杂的模型。另外，写着“常数”的部分，是为了使标准化条件（所有事件的概率之和为1）成立，而进行了调整的数值，因此在贝叶斯推理中并不是那么的重要。

接下来，我们通过几个例来理解。

例1：α＝1，β＝1时，

x0＝1，也就是“任何非零数的零次幂为1”。（1）式为

y＝（常数）×x0（1-x）0＝（常数）×1×1＝（常数）（0≤x≤1）

y＝（常数）的图像是一条与x轴平行的线段，这与上一讲中的［0，1］-赌盘模型相一致。并且，从标准化条件来考虑的话，（常数）必须为1。于是也可以用以下的（2）式来表达（图表17-1）。

y＝1（0≤x≤1）…（2）

例2：α＝2，β＝1时，

根据上面的（1）式，

y＝（常数）×x1（1-x）0（0≤x≤1）

可以得出：

y＝（常数）x（0≤x≤1）…（3）

为一次函数，如图表17-2所示，函数的图像为一条向右上方延伸的线段。这里（常数）＝2，原因将会在17-4中予以说明。

例3：α＝1，β＝2时，

根据上面的（1）式，

y＝（常数）×x0（1-x）1（0≤x≤1）

可以得出：

y＝（常数）（1-x）（0≤x≤1）…（4）

同样为一次函数，如图表17-4所示，函数的图像为一条向右下方延伸的线段。这里（常数）＝2，原因将会在17-5节中予以说明。

例4：α＝2，β＝2时，

根据上面的（1）式，

y＝（常数）×x1（1-x）1（0≤x≤1）

可以得出：

y＝（常数）×x（1-x）（0≤x≤1）…（5）

为二次函数，如图表17-5所示，函数的图像为抛物线的一部分。这里（常数）＝6，原因将会在17-6节中予以说明。

接下来，将对这些例子逐一进行详细说明。

17-3α＝1，β＝1的例子即为［0，1］-赌盘模型

17-2中已经解说过，α＝1、β＝1时的贝塔分布，也就是是［0，1］-赌盘模型（均匀分布的一种）。反过来可以说，［0，1］-赌盘模型是贝塔分布的一种，如图表17-1所示。

图表17-1α＝1，β＝1的贝塔分布的概率分布图

17-4α＝2，β＝1的例子