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第7讲 通过少量信息得出切实结论的贝叶斯推理与内曼－皮尔逊式推理的差异（第2页）

7-5从逻辑性观点出发，看贝叶斯推理的过程

最后，我们还是像在第6讲中所说明的那样，从逻辑性观点出发，再来总结一遍贝叶斯推理的结构吧。问题设定中，列举了已知事实：

事实1该壶为A壶或者B壶

事实2’若为A，则可能是白球

事实3’若为B，则可能是黑球

事实4黑球（不出现白球）

通过以上4个事实，我们来看一看，在贝叶斯推理过程中，究竟会呈现怎样的组合推理方式呢？

首先，从事实2’中可以推导出，假设该壶为A壶，则可能会出现“该壶为A壶且出现黑球”或“该壶为A壶且出现白球”的任意一种情况，之后，能够推导出“基本上是后者”的结论。同样，从事实3’可以推导出，假设该壶为B壶，则可能会出现“该壶为B壶且出现黑球”和“该壶为B壶且出现白球”的任意一种情况，之后，能够推导出“基本上是前者”的结论。通过以上结果和事实4，我们可以排除掉“该壶为A壶且出现白球”和“该壶为B壶且出现白球”这两种情况，只留下“该壶为A壶且出现黑球”和“该壶为B壶且出现黑球”的可能性。

如果考虑到“前者的可能性小，而后者的可能性大”的情况，就能判断出答案是后者——“该壶为B壶且出现黑球”的可能性较大。因此，就能得出如果“该壶为B壶且出现黑球”，那么自然B是成立的，因此结论为B。贝叶斯推理的逻辑结构就是这样的。

第7讲·小结

1．设定“该壶为A壶”和“该壶为B壶”两个类别。

2．依据理由不充分原理，设定A的先验概率为0.5，B的先验概率为0.5。

3．在“该壶为A壶”的情况下，设定黑球的条件概率为0.1，白球的条件概率为0.9；在“该壶为B壶”的情况下，设定黑球的条件概率为0.8，白球的条件概率为0.2。

4．由于观察到了黑球，因此排除掉白球的可能性。

5．设定黑球的概率满足正规化条件。

6．求出“该壶为A壶”的后验概率和“该壶为B壶”后验概率，得出“应该是B壶”的结论。

练习题

答案参见此处

在这里，稍微改变一下壶里的球的构成，然后进行同样的推理。

面前有一只壶，已知这个壶不是A壶就是B壶，但是单从外表看不出究竟是哪个。而目前已知的是：A壶中有8个白球和2个黑球，B壶中有3个白球和7个黑球。现在，如果从壶里取出1个球，并且这个球是黑色的。设定先验概率各为0.5，在接下来的步骤中，求出“该壶为A壶”、“该壶为B壶”的后验概率，并判断该壶为A壶还是B壶。

各个类别的先验概率分别为，

（a）＝（）、（b）＝（）

添加信息后的条件概率分别为，

（c）＝（）、（d）＝（）

（e）＝（）、（f）＝（）

四种互不相同的情况的概率分别为，

（g）＝（）×（）＝（）

（h）＝（）×（）＝（）

（i）＝（）×（）＝（）

（j）＝（）×（）＝（）

观察到“黑球”的2种情况下的概率，使之满足标准化条件，为：

观察到“黑球”的情况下“该壶为A壶”的概率＝（）

观察到“黑球”的情况下“该壶为B壶”的概率＝（）

综合上述，能够得出该壶为（）的结论。