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第4讲 运用概率的概率拓宽推理范围（第1页）

第4讲运用“概率的概率”，拓宽推理范围

4-1第一个孩子是女儿，那么下一个孩子是男孩还是女孩？

在第1讲和第2讲中，我们运用了客观的数据来设定先验概率。接下来，在第3讲中，由于没有客观数据可用于先验概率的设定，于是我们主观地设定了先验概率。在第4讲中，将带领大家进一步了解神奇的贝叶斯推理方法。请阅读以下问题设定。

问题设定

假设夫妻俩的第一个孩子是女儿。那么，接下来生的孩子依然是女儿的概率为多少？

也许你会怀疑，上述问题设定是否有实际意义？很多人会觉得，这个设问实在太模糊，以至于让人根本不知该如何作答。换句话说，人们会认为“每一次生男生女的概率各为一半。就算第一个孩子是女儿，但下一个孩子的性别与这根本无关，所以接下来依然是女儿的概率也还是0.5吧”。

事实上，笔者曾经将该问题设定的贝叶斯推理写入某本书，并收到了读者写来的表示反对的邮件。邮件内容是“我的医生朋友说，事实上，并没有容易生男孩、容易生女孩这回事，生男生女的概率都是一样的”。

当然，我知道这位读者想要表达什么，只是我认为，他并没有认真思考那本书的解说内容，他的思考始终处于停滞状态，只是一味地表示反对，对此，我感到有些遗憾。

第一，从统计学观点来看，生男生女的比率并不是各占一半的。事实上，生男孩的比率会稍微高一点。在日本，生男生女的概率比约为51:49。即使具体比率上有所差别，但“男孩的概率高一些”这一特性，是全世界共通的。不管原因如何，在生物学上，男女的出生率有着其固有的结构，因此，不能说这种现象与投硬币有着同等的概率。

第二，那位读者的医生朋友观察的是“关于多数夫妻生下来的多数孩子的样本统计”，而不是“针对某对特定的夫妻所生的孩子进行的统计”。即使人类整体在统计时呈现出51:49这样稳定的比率，但某一对特定夫妻所生孩子是男还是女的问题上，并不一定遵循这个比率。这对夫妻有其固有的特性，因此也不能否定是否存在“生女孩稍微容易一点”或“生男孩稍微容易一点”这种性向的可能性。

标准统计学（又称内曼－皮尔逊统计学）在阐明全人类范围内的男女比例这一性向问题时是有效的，但不能用来解答“特定的某一对夫妻更容易生男孩还是女孩”的问题。这是因为，如果不使用达到一定程度的大量数据，就不能运用标准统计学来推断，关于这一点，在第8讲中会进行详细的解说。理由是，对于某一对特定的夫妻，他们所生的孩子数量，并不足以用来进行统计验证；而且，在生下大量的孩子的过程中，随着年龄的增长，身体条件也会发生变化。

然而，即便是这种对于特定夫妻的生育问题的推断，也可以使用贝叶斯推理来完成。理由在于，贝叶斯推理在某种意义上来讲是一种“宽松”的推断。所谓的“宽松”是指：设定不可思议的先验概率，并且其数值可以是主观性的。关于这一问题设定，下文将按照明贝叶斯推理的独特顺序来进行说明。

4-2将“概率的概率”设置为“先验概率”

首先，关键的一点在于类别的设置。在本案例中，我们需要设置的类别是“该夫妇所生的孩子为女孩的概率”，我们用p来记录这一概率。

有的读者可能会条件反射般地认为“概率p难道不应该是0.5吗？”关于这一点，在上节中已经讲过，在统计人类这一整体时，可以认为生男生女出的概率比为1:1（或近似1:1），但具体到某一对特定夫妇身上的话，就未必是这个结果了。

因此，“该夫妇所生的孩子为女孩的概率”p，可以是0到1之间的任意自然数。此时，用于表示该夫妇类别的p的取值范围为0≤p≤1，可取的数值有无限个，并且连续分布。据此可以设置类别p，并进行贝叶斯推理，这项工作的难度较大，具体将在第19讲中解说，本节仅做简要说明。

简单来说，可以设置3个p的值，分别为0.6、0.5、0.4。当然了，只要满足条件0≤p≤1的值都可以选取，并且这样做更加符合常理，而本讲为了让大家理解贝叶斯推理的特质，需要首先保证易于理解的问题，因此，只选取三个数值进行探讨。

现在我们已经将“该夫妇所生的孩子为女孩的概率”p设置为0.6、0.5、0.4这三种可能，那么该夫妇一定属于这三种中的一种。也就是说，当p＝0.6时，该夫妇生女孩的概率为0.6，当p＝0.4时，该夫妇生女孩的概率为0.4。其中，前者说明“该夫妇比较容易生女孩”，后者说明“该夫妇比较容易生男孩”。当然，如果p＝0.5，那么说明“该夫妇生男生女的概率相等，各为0.5”。

下一步要做的与以往相同，就是为这三种类别分别设置先验概率。

在这种情况下，想要判断该夫妇究竟属于哪一个类别，是完全没有任何统计数据来支持的，因此依然采用上一讲中的“理由不充分原理”。如图表4-1所示，设置这三种类别的概率各为13。

图表4-1根据理由不充分原理设置的先验概率

读到这里，作为初学者来说难以理解的一点是：为何设置“p＝0.4的先验概率”的概率为13？可以这样理解：p本身就是一个概率，那么，“p＝0.4的先验概率”的概率为13，便是“概率的概率”。对于这种思维方式，如果不习惯的话，确实会感到混乱。

理解时的关键是，p代表“生女孩”的概率，而先验概率13代表：三种类别的概率p的值，究竟哪一个才是真实的可能性。

换言之，先验概率表示：该夫妇属于哪一个可能世界的概率；概率p表示：该夫妇在各个可能世界中生女孩的概率。也就是说，这两个概率，是不同意义的。

上一讲的观点认为，类别（互不相同的可能世界）与概率是毫无关系的，而本讲中的类别则是通过概率p来表示的。也就是说，该夫妇“生女孩的概率”究竟为0.4？还是0.5？或是0.6？我们无从得知，只能进行推测罢了。于是，运用“理由不充分原理”，将每种情况的先验概率均设置为13。

对了，由于从统计学的观点来看待人类整体生男生女的概率问题时，p＝0.5的可能性要远高于其他两种情况，那么，在设置先验分布时，也可以进行适当调整。例如，可以将“生女孩的概率为0.4”和“生女孩的概率为0.6”这两种情况的先验概率均设置为0.2，而“生女孩的概率为0.5”的先验概率则设置为0.6。（关于这一点，可在习题部分进行计算练习）

关于先验概率的设置，有一点与之前的内容略有不同：之前都是设置两个类别，而这次设置了三个类别。如果能够顺利理解本讲内容，那么今后即使设置再多的类别，应该也都不成问题了。

4-3把“生女孩的概率”直接作为“条件概率”来使用

下一步，是与以往一样，按照类别进行划分，之后，设定能够引起特定行为的条件概率。在本案例中，这一步是十分简单的，这是因为“类别”本身成为其条件概率。

譬如，如果一对夫妇属于p＝0.4的类别，那么，这对夫妇生女孩的条件概率便为0.4。那么，理所当然地，这对夫妇生男孩的概率则为1-0.4＝0.6。把这以计算过程用图表4-2表示出来，如下所示。

图表4-2这对夫妇生女孩?男孩的条件概率

这些概率与以往的一样，都是“有特定原因时的结果的概率”。这里的原因是指，“生女孩容易”或“生男孩容易”的情况，而结果是指“生了女孩”或“生了男孩”。

图表4-3中分列了3种情况，将这3种情况分别再分为2种，最终总共分为6种情况。

图表4-3六种互不相同的可能性

接下来，按照图表4-4把6种情况下的概率分别填入其中。概率与之前的计算方法相同，通过计算长方形的面积获得。虽然概率最终的表现形式是分数和小数混杂在一起，可能会看不习惯，但这样可以简化后面的计算。因此，在阅读时请予以理解。

图表4-4六种互不相同的可能性各自的概率